Question

14．函数f（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{x+1}$+$\frac{1}{2}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 要求函数的最大值，可得x≥1．可设$\sqrt{x}$-1=t（t≥0），即x=（1+t）²，将函数化为t的函数，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：要求函数的最大值，可得x≥1．
可设$\sqrt{x}$-1=t（t≥0），即x=（1+t）²，
则函数为y=$\frac{t}{（1+t）^{2}+1}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}+2}$+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{2}{t}}+2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当t=$\sqrt{2}$即x=3+2$\sqrt{2}$时，取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．