题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅱ)当,
时,
,其中
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)依题意,再对
分类讨论求出函数
的单调性;
(Ⅱ)由题得,分析得到只需证
时,
成立即可. 令
,证明
即得证.
(Ⅰ)依题意,,
.
当时,
.
所以当时,
,当
时,
.
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.
当时,令
,解得
或
.
若,则
,所以函数
在
上单调递增;
若,则
,
所以当时,
,当
时,
,当
时,
,所以函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
若,则
,
所以当时,
,当
时,
,当
时,
,所以函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ)依题意,得,所以
.
要证,即证
,即证
,即证
,
即证,所以只需证
时,
成立即可.
令,则
.
令,则
.
所以在
上单调递增.
所以,即
,所以
.
所以在
上单调递增.所以
,
所以,即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】2014年7月18日15时,超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计,本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元.适逢暑假,小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率分布直方图:
经济损失 4000元以下 | 经济损失 4000元以上 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如上表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏,若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修,李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区,张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区,求连续3天内,李师傅比张师傅早到小区的天数的数学期望.
附:临界值表
参考公式: .