题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面是直角梯形,
,
,
和
是两个边长为2的正三角形,
,
为
的中点,
为
的中点.
(1)证明:平面
.
(2)在线段上是否存在一点
,使直线
与平面
所成角的正弦值为
?若存在,求出点
的位置;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)当时,直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【解析】
(1)设为
的中点,连接
,
,证明OE为三角形BPF的中位线,得
即可证明(2)证明
平面
,由
,过
分别作
,
的平行线,分别以它们作为
轴,以
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,求平面
的法向量,假设线段
上存在一点
,设
,得
,由直线
与平面
所成角的正弦值为
列
的方程求解即可
(1)证明:设为
的中点,连接
,
,则
.
∵,
,
,
∴四边形为正方形.
∵为
的中点,∴
为
,
的交点,
∴为
的中点,即OE为三角形BPF的中位线
∴.
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)∵,
为
的中点,
∴.∵
,∴
,
∴,
.
在中,
,∴
.
又∵,∴
平面
.
又因为,所以过
分别作
,
的平行线,分别以它们作为
轴,
以为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
.
假设线段上存在一点
,使直线
与平面
所成角的正弦值为
.
设,则
,
即.
设平面的一个法向量为
,则
,即
.
取,得平面
的一个法向量为
.
设直线与平面
所成角为
,令
,
得,
化简并整理得,解得
(舍去),或
.
所以,当时,直线
与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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