题目内容
【题目】已知.
(1)对一切,
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)当时,求函数
在[m,m+3]( m>0)上的最值;
(3)证明:对一切,都有
成立.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
试题分析:(1)根据对一切恒成立,也就是
在
恒成立,下面只要求出函数的最小值,使得
小于函数的最小值即可;(2)要求函数最值,不管遇到什么特殊的函数,一定要按照求最值的方法按部就班的来解,首先求导,令导函数对于零,得到可能是极值点,根据极值点和区间两个端点之间的关系,得到结果;(3)要证不等式在一个区间上恒成立,把问题进行等价变形,由(2)知
时,
的最小值是
,只要求函数
最大值进行比较即可.
试题解析:(1)对一切恒成立,即
恒成立.
也就是在
恒成立. 令
,
则,
在上
,在
上
,
因此,在
处取极小值,也是最小值,即
,所以
.
(2)当,
,由
得
.
①当时,在
上
,在
上
因此,在
处取得极小值,也是最小值.
.
由于
因此,.
②当,
,因此
上单调递增,所以
,
.
(3)证明:问题等价于证明,
由(Ⅱ)知时,
的最小值是
,当且仅当
时取得,
设,则
,易知
,当且仅当
时取到,
但从而可知对一切
,都有
成立.

练习册系列答案
相关题目