Question

如图，椭圆C₀：(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C₁：x²＋y²＝t₁²，b＜t₁＜a．点A₁，A₂分别为C₀的左，右顶点，C₁与C₀相交于A，B，C，D四点．

(1)求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C₂：x²＋y²＝t₂²与C₀相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t₁²＋t₂²为定值．

Answer 1

（1）(x＜－a，y＜0)   （2）见解析

(1)解　设A(x₁，y₁)，B(x₁，－y₁)，
又知A₁(－a,0)，A₂(a,0)，
则直线A₁A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A₂B的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y²＝(x²－a²)．③
由点A(x₁，y₁)在椭圆C₀上，故．
从而y₁²＝b²，
代入③得(x＜－a，y＜0)．
(2)证明　设A′(x₂，y₂)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x₁||y₁|＝4|x₂||y₂|，
故x₁²y₁²＝x₂²y₂²．
因为点A，A′均在椭圆上，
所以b²x₁²＝b²x₂²．
由t₁≠t₂，知x₁≠x₂，所以x₁²＋x₂²＝a²．从而y₁²＋y₂²＝b²，
因此t₁²＋t₂²＝a²＋b²为定值．