Question

（本小题满分13分）如图，四面体中，是的中点，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ)   （Ⅲ）

（I）证明：．
连接．
，又

即       平面．
（II）方法1 取的中点，的中点，为的中点，或其补角是与所成的角．∴连接是斜边上的中线，，
．在中，由余弦定理得，∴直线与所成的角为．
（Ⅲ）方法l 平面，过作于，连接,
是在平面上的射影，由三垂线定理得．
是二面角的平面角，，又．
在中，，．
∴二面角为．
（II）方法2建立空间直角坐标系．则
．
．∴直线与所成的角为．
（Ⅲ）方法2在坐标系中，平面的法向量．
设平面的法向量，则，
求得，
∴二面角为．