Question

【题目】如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF⊥平面ABCD且DF.

（1）求证：EF//平面ABCD；

（2）若∠ABC=∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）要线面平行，即证直线在面外且直线平行于平面内的一条直线，故过点E作EH⊥BC于构造平行四边形即可得到线线平行.

（2）连接HA，根据题意，AH⊥BC，以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAF和平面BEF的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值.

（1）过点E作EH⊥BC，连接HD，EH，

因为平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，

平面ABCD∩平面BCE=BC，

所以EH⊥平面ABCD，

因为FD⊥ABCD，FD，

所以FD//EH，FD=EH，故平行四边形EHDF，

所以EF//HD，

由EF平面ABCD，HD平面ABCD，

所以EF//平面ABCD；

（2）连接HA，根据题意，AH⊥BC，

如图：

以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，，0），B（1，0，0），E（0，，），F（-2，，），

则（﹣1，，0），（﹣1，0，），（﹣3，，），

设平面BAF的法向量为（x，y，z），

，得（，1，2），

设平面BEF的法向量为，

由，得，

由cos，

所以二面角A﹣FB﹣E的余弦值为.