Question

【题目】已知函数．

（1）求函数在上的单调区间；

（2）用表示中的最大值，为的导函数，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为;单调递减区间为；（2）；（3）详见解析．

【解析】

（1）求导后求出、的解集后即可得解；

（2）转化条件得在上恒成立，即在上恒成立，令，求导后求得的最大值即可得解；

（3）利用导数证明，进而可证，即可得证.

（1）因为，

所以，

令得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）由（1）知，

当时，恒成立，故恒成立；

当时，，又因为恒成立，

所以在上恒成立，

所以，即在上恒成立，

令，则，

由，

令得，易得在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，即，

综上可得.

（3）证明：设，则，

所以在上单调递增，所以，即，

所以

，

所以.