Question

10．函数f（x）=ax³+bx²+1，在x=1处取得极大值3，则f（x）的极小值为（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求函数的导数，利用当x=1时，有极大值3，建立方程，求出a，b的值，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+1，
∴f′（x）=3ax²+2bx，
∵当x=1时，有极大值3，
∴f′（1）=0，f（1）=3，
∴3a+2b=0，a+b+1=3，
∴a=-4，b=6，
即f（x）=-4x³+6x²+1，f′（x）=-12x²+12x=-12x（x-1），
由f′（x）＞0得0＜x＜1此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜0，此时函数递减，
则当x=0时，函数取得极小值f（0）=1，在x=1处取得极大值f（1）=-4+6+1=3，满足条件．
故选C．

点评 本题考查导数知识的应用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．