题目内容
【题目】已知函数,下列说法正确的是__________.
的值域是
;
当
时,方程
有两个不等实根;
若函数
有三个零点时,则
;
经过
有三条直线与
相切.
【答案】①②③
【解析】
①:结合导数,用函数的单调性和奇偶性,求得的值域;②利用导数,证得方程
有两个不等实根;③根据
为偶函数,故可先考虑
的情况,再由对称性得到
的情况.当
时,首先确定
是函数
的零点,令
,分离常数
,利用导数求得
的取值范围.再根据对称性,求得
的取值范围.④利用导数,求得过
的切线的条数.
①函数的定义域为
,且
,所以
为偶函数,图像关于
轴对称.当
时,
,
,
.令
解得
,所以
在
上递减,在
上递增,
,所以
在
上单调递增,从而
.由于
为偶函数,所以
在
上单调递减,且
.所以
的值域是
.故①正确.
②显然,是方程
的根.方程
可化为
.当
时,即
.根据①的分析,结合图像可知,当
时
与
的图像没有公共点.故只需考虑
的情况.由
得
,即
.构造函数
,
,
,令
,解得
.所以
在
上递减,在
上递增,且
,所以存在
,使得
.故
在
上递减,在
上递增.
,所以存在
,使
.综上所述,当
时,方程
有两个不等实根成立,故②正确.
③为偶函数,故可先考虑
的情况.当
时,函数
为
,故方程
有三个不相等的实数根.首先
是方程
的根.
先证:令
,
,
,令
解得
.所以
在
上递减,在
上递增.
,当
,
.若
,即
,则
在区间
上先减后增,在区间
上至多只有两个零点,不符合题意.故
.
故下证:当
时,由
得
有两个不同的实数根.构造函数
,
.令
,
,
,所以
在
上单调递增,所以当
时,
.所以由
可知
在
上递减,在
上递增,所以
在
处取得极小值也即是最小值
,所以
.
综上所述,的取值范围是
.由于
为偶函数,根据函数图像的对称性可知
的取值范围是
.故③正确.
④当时,设经过点
的切线的切点为
,
,
,故切线方程为
,将
代入上式得
,化简得
.令
,
,
,所以
在
上单调递增.所以方程
解得
或
.所以当
时,
有两条切线.根据
为偶函数,所以当
时,
也有两条切线方程. 所以经过
有四条直线与
相切,④错误.
特别的,当时,
,
,即当
时,
在
处的切线的斜率为
.当
时,
,即当
时,
在
处的切线的斜率为
.
故答案为:①②③
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