题目内容
【题目】已知焦点在轴上的椭圆
上的点到两个焦点的距离和为10,椭圆
经过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右焦点
作与
轴垂直的直线
,直线
上存在
、
两点满足
,求△
面积的最小值;
(3)若与轴不垂直的直线
交椭圆
于
、
两点,交
轴于定点
,线段
的垂直平分线交
轴于点
,且
为定值,求点
的坐标.
【答案】(1);(2)9;(3)
.
【解析】
(1)求出,
,直接求出椭圆方程;
(2)设,
,
,由
,所以
,代入三角形面积公式,由基本不等式求出即可;
(3)设出直线为:
,联立解方程组,用
,
表示出点
,
,
,由
为定值,求出当
,求出
的坐标.
(1)设椭圆的方程为,椭圆
上的点到两个焦点的距离和为10,所以
,
,
又椭圆经过点
,代入椭圆方程,求得
,
所以椭圆的方程为:;
(2)设,
,
,
由,所以
,
,故
面积的最小值为9;
(3)设直线的方程为:
,则点
,
联立,消去
得
,
,
,
所以,
则的中点
的坐标为
,又
,得
,
则直线的方程为:
,
令,得
点的坐标为
,则
,
所以,
当且仅当时,比值为定值,此时点
,为
,
故或
.

【题目】政府工作报告指出,2018年我国深入实施创新驱动发展战略,创新能力和效率进一步提升;2019年要提升科技支撑能力,健全以企业为主体的产学研一体化创新机制.某企业为了提升行业核心竞争力,逐渐加大了科技投入;该企业连续6年来的科技投入(百万元)与收益
(百万元)的数据统计如下:
科技投入 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益 |
根据散点图的特点,甲认为样本点分布在指数曲线的周围,据此他对数据进行了一些初步处理,如下表:
其中,
.
(1)(i)请根据表中数据,建立关于
的回归方程(保留一位小数);
(ii)根据所建立的回归方程,若该企业想在下一年的收益达到2亿,则科技投入的费用至少要多少(其中)?
(2)乙认为样本点分布在二次曲线的周围,并计算得回归方程为
,以及该回归模型的相关指数
,试比较甲、乙两位员工所建立的模型,谁的拟合效果更好.
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
,相关指数:
.