题目内容
【题目】已知焦点在
轴上的椭圆
上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点
作与轴垂直的直线
，直线上存在
、
两点满足
，求△
面积的最小值；
（3）若与轴不垂直的直线
交椭圆于
、
两点，交轴于定点，线段
的垂直平分线交轴于点，且
为定值，求点的坐标.
【答案】（1）
；（2）9；（3）
.
【解析】
（1）求出
，
，直接求出椭圆方程；
（2）设
，
，
，由
，所以
，代入三角形面积公式，由基本不等式求出即可；
（3）设出直线
为：
，联立解方程组，用
，
表示出点
，
，
，由
为定值，求出当
，求出的坐标．
（1）设椭圆的方程为
，椭圆
上的点到两个焦点的距离和为10，所以
，
，
又椭圆经过点
，代入椭圆方程，求得
，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，，，
由，所以，
，故
面积的最小值为9；
（3）设直线的方程为：，则点
，
联立
，消去
得
，
，
，
所以
，
则
的中点的坐标为
，又
，得
，
则直线
的方程为：
，
令
，得点的坐标为
，则
，
所以
，
当且仅当时，比值为定值，此时点，为，
故
或
．
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【题目】政府工作报告指出，2018年我国深入实施创新驱动发展战略，创新能力和效率进一步提升；2019年要提升科技支撑能力，健全以企业为主体的产学研一体化创新机制.某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入；该企业连续6年来的科技投入
（百万元）与收益
（百万元）的数据统计如下：
科技投入 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益 |
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根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线
的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：
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其中
，
.
(1)（i）请根据表中数据，建立关于
的回归方程（保留一位小数）；
（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少（其中
）？
(2)乙认为样本点分布在二次曲线
的周围，并计算得回归方程为
，以及该回归模型的相关指数
，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
，相关指数：
.
