题目内容
设函数
.
（I）求函数
的最小值；
（Ⅱ）若
，且
，求证：
；
（Ⅲ）若
，且
，
求证：
.
.（I）求函数
的最小值；（Ⅱ）若
，且，求证：；（Ⅲ）若
，且，求证：
.解：（I）
，
令
，得
，所以在
递减，在
递增.
所以
.
（Ⅱ）
由（I）知当
时，
，
又，，∴
∴
.
（Ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当
时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假设
(
)时不等式成立，
即若
，且
时，
不等式
成立
现需证当
()时不等式也成立，
即证：若
，且
时，不等式
成立.
证明如下：设
，则
......①
同理
.....②
由①+②得：
又由（Ⅱ）令
，则
，其中
，
则有
∴
∴
∴当
时，原不等式也成立.
综上，由1°和2°可知，对任意的
原不等式均成立.
，令
，得，所以在递减，在递增.所以
.（Ⅱ）
由（I）知当
时，，又
，，∴∴
.（Ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当
时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；2°假设
()时不等式成立，即若
，且时，不等式
成立现需证当
()时不等式也成立，即证：若
，且时，不等式成立.证明如下：设
，则......①同理
.....②由①+②得：
又由（Ⅱ）令
，则，其中，则有
∴
∴∴当
时，原不等式也成立.综上，由1°和2°可知，对任意的
原不等式均成立.略
练习册系列答案
相关题目
在区间
上的最大值是 。
的极大值和极小值，并画出函数
的根的个数问题：
的取值范围
在区间上
是增函数，求实数
的取值范围；
是
上的最大值和最小值.
上的函数
，其中
为大于零的常数．
时，令
，
时，
（
为自然对数的底数）；
，在
处取得最大值，求
，
在
处取得极小值
。求a+b的值
在[0，3]上的最大值、最小值分别是
在
处有极值,则
，既有极大值又有极小值，则
的取值范围是 