题目内容
已知P是圆上任意一点,点N的坐标为(2,0),线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q,当点P在圆M上运动时,点Q的轨迹为C.
(1)求出轨迹C的方程,并讨论曲线C的形状;
(2)当时,在x轴上是否存在一定点E,使得对曲线C的任意一条过E的弦AB,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.
(1)求出轨迹C的方程,并讨论曲线C的形状;
(2)当时,在x轴上是否存在一定点E,使得对曲线C的任意一条过E的弦AB,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.
(1)以,为焦点的椭圆;(2)定值6,定点E.设经过点的直线方程,代入
试题分析:(1)利用线段的垂直平分线交直线于点,当时,根据椭圆的定义,即可求出轨迹的方程;(2)当时,轨迹必为椭圆方程,设,分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD,,根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明.存在性问题,先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程,代入椭圆方程,消去,设,,利用一元二次方程的根与系数的关系,求得为定值6.
(1)由题意,,所以,
所以轨迹是以、为焦点,以为长轴的椭圆,
其方程为.(4分)
(2)由(1)当时,曲线C为,
设,分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD,,
则,即
解得,所以E若存在必为定值为6. (6分)
下证满足题意.
设过点E的直线方程为,代入C中得:
,设,
则 (8分)
(13分)
同理可得E也满足题意.
综上得定点为E,定值为(14分)
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