Question

10．数列{a_n}满足a_n+2=2a_n+1-a_n，且a₂₀₁₄，a₂₀₁₆是函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}$+6x-1的极值点，则log₂（a₂₀₀₀+a₂₀₁₂+a₂₀₁₈+a₂₀₃₀）的值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}$+6x-1，可得f′（x）=x²-8x+6，
∵a₂₀₁₄，a₂₀₁₆是函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}$+6x-1的极值点，
∴a₂₀₁₄，a₂₀₁₆是方程x²-8x+6=0的两实数根，则a₂₀₁₄+a₂₀₁₆=8．
数列{a_n}中，满足a_n+2=2a_n+1-a_n，
可知{a_n}为等差数列，
∴a₂₀₁₄+a₂₀₁₆=a₂₀₀₀+a₂₀₃₀，即a₂₀₀₀+a₂₀₁₂+a₂₀₁₈+a₂₀₃₀=16，
从而log₂（a₂₀₀₀+a₂₀₁₂+a₂₀₁₈+a₂₀₃₀）=log₂16=4．
故选：C．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．