题目内容
(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)已知为椭圆上两动点,分别为其左右焦点,直线过点,且不垂直于轴,的周长为,且椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点为椭圆的左端点,连接并延长交直线于点.求证:直线过定点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点为椭圆的左端点,连接并延长交直线于点.求证:直线过定点.
(1);(2)证明详见解析.
试题分析:(1)结合图形及椭圆的定义先得到的周长为,进而根据条件列出方程组,从中求解即可得出的值,进而可写出椭圆的方程;(2)由(1)确定,进而设点,设直线,联立直线与椭圆的方程,解出点,设直线,可得,进而根据三点共线得出,将点的坐标代入并化简得到,进而求出点的坐标,,然后写出直线的方程并化简得到,从该直线方程不难得到该直线恒通过定点,问题得证.
(1)依题意有:的周长为
所以,则椭圆的方程为 4分
(2)由椭圆方程可知,点
设直线,由得,从而,,即点
同理设直线,可得 7分
由三点共线可得,即,代入两点坐标化简可得
9分
直线,可得点,即
从而直线的方程为
化简得,即,
从而直线过定点 12分.
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