Question

（12分）（2011•陕西）设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程．
（Ⅱ）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x²﹣3x﹣8=0，解可得x₁与x₂的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案．
解：（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），
将（0，4）代入C的方程得，即b=4
又得=；
即，∴a=5
∴C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入C的方程，得，
即x²﹣3x﹣8=0，解得，，
∴AB的中点坐标，
，
即中点为．
点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决．