题目内容
已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
为短轴的一个端点，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）如图，过右焦点
，且斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.
求证:
为定值.
的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.（1）求椭圆
的方程；（2）如图，过右焦点
，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:
为定值.（1）
；（2）详见解析
；（2）详见解析试题分析：（1）由点
为短轴的一个端点可知
，在直角三角形
中已知
，从而可得
。因为
，所以
.（2）设过点
的直线方程为：
，与椭圆方程联立消去
整理为关于
的一元二次方程，设点
即
为方程的两根，可得根与系数的关系。由斜率公式可分别求得直线
和直线
的斜率，根据点斜式可得两直线方程。直线和直线分别与直线联立，求交点
。根据中点坐标公式可得点
坐标。根据斜率公式求。即可证得为定值。解：（1）由条件可知
， 2分故所求椭圆方程为
. 4分（2）设过点
的直线方程为：. 5分由
可得：
6分因为点
在椭圆内，所以直线
和椭圆都相交，即
恒成立.设点
，则
. 8分因为直线
的方程为：
，直线
的方程为：
， 9分令
，可得
，
，所以点
的坐标
. 10分直线
的斜率为
12分
所以
为定值
. 13分
练习册系列答案
相关题目
，称圆心在坐标原点O，半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是
.
满足
，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
，求P点的坐标；
，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点
的直线的最短距离
.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
为椭圆
上两动点，
分别为其左右焦点，直线
过点
，且不垂直于
轴，
的周长为
，且椭圆的短轴长为
．
的标准方程；
为椭圆
并延长交直线
于点
．求证：直线
过定点．
过点
，两焦点为
、
，
是坐标原点，不经过原点的直线
与椭圆交于两不同点
、
.
时，求
面积的最大值；
、
、
的斜率依次成等比数列，求直线
的斜率
.
．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．
的一个焦点为
，且离心率为
． 
的直线
过点
，且与椭圆交于
两点，
为直线
上的一点，若△
为等边三角形，求直线
，左右焦点分别为
，过
的直线
交椭圆于A，B两点，若
的最大值为5，则
的值是 ( )
