题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若曲线仅在两个不同的点
,
处的切线都经过点
,求证:
,或
;
(2)当时,若
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)先对函数进行求导,再借助导数的几何意义推证;(2)先将不等式进行转化,再借助导数知识求解:
试题解析:
(1)证明:∵,∴
,
∴,
则曲线在
两点处的切线的方程分别为:
,
.
将代入两条切线方程,得
,
.
由题可得方程即
有且仅有两个不相等的两个实根.
设,
.
①当时,
,∴
单调递增,显然不成立.
②当时,
,解得
或
.
∴的极值分别为
,
.
要使得关于的方程
有且仅有两个不相等的实根,
则或
.
(2)解:,
设,则
,
记,则
,
当时,
,于是
在
上是减函数,
从而当时,
,故
在
上是减函数,
于是,从而
,所以当
时,
.
所以,当时,
在
上恒成立,
因此,的取值范围是
.
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