题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调区间;
(2)设,当
有两个极值点为
,且
时,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)当时,
的递增区间为
,无递减区间;当
时,
的递增区间为
,
,递减区间为
(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出的导数,通过讨论
的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)用
表示
,
,求出
的表达式,构造函数
,
,求出
的最小值即可.
试题解析:(Ⅰ) 的定义域
.
,
令,得
,
①当时,
,此时
恒成立,所以,
在定义域
上单调递增; (2分)
②当时,
,
的两根为
,
,
且.
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
综上,当时,
的递增区间为
,无递减区间;当
时,
的递增区间为
,
,递减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 的两个极值点
是方程
的两个根,则
,所以
,
.
∴
.
设,
,
则.
∵,
当时,恒有
,∴
在
上单调递减;
∴,∴
.
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