Question

1．若函数f（x）=x³+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，则a的取值范围是[$\frac{7}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性与导数之间的关系转化为f′（x）≥0恒成立即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=2x²+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）=x³+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即f′（x）=2x²+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，
即a≥-2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设g（x）=-2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，则g（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为减函数，
则g（x）＜g（$\frac{1}{2}$）=-2×$（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{7}{2}$，
∴a≥$\frac{7}{2}$，
故答案为：[$\frac{7}{2}$，+∞）

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系转化为f′（x）≥0恒成立是解决本题的关键．