Question

9．在斜△ABC中，$\frac{tanAtanB+tanBtanC}{tanCtanA}$=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 运用切化弦和两角和的正弦公式及诱导公式，再由正弦定理、余弦定理，即可得到．

解答 解：在斜△ABC中，$\frac{tanAtanB+tanBtanC}{tanCtanA}$=$\frac{tanB（tanA+tanC）}{tanAtanC}$
=$\frac{\frac{sinB}{cosB}（\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinC}{cosC}）}{\frac{sinAsinC}{cosAcosC}}$=$\frac{sinB（sinAcosC+cosAsinC）}{sinAsinCcosB}$
=$\frac{sinBsin（A+C）}{sinAsinCcosB}$=$\frac{si{n}^{2}B}{sinAsinCcosB}$
=$\frac{{b}^{2}}{accosB}$=$\frac{2{b}^{2}}{2accosB}$=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$．
故答案为：$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$．

点评 本题考查三角函数的切化弦，及两角和的正弦公式和诱导公式的运用，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题．