题目内容

3.已知曲线f(x)=-x3-2x2+2ax+8在(1,f(1))处切线与直线x-3y+1=0垂直.
(Ⅰ)求f(x)解析式;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间、极值并画出y=f(x)的大致图象.

分析 (Ⅰ)求出函数的导数,求得切线的斜率,由直线垂直的条件:斜率之积为-1,即可得到a=2,进而得到f(x)的解析式;
(Ⅱ)求出函数的导数,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间,进而得到极值和函数的图象.

解答 解:(Ⅰ)对f(x)求导f′(x)=-3x2-4x+2a,
由题意f′(1)=-3-4+2a=-3,∴a=2,
∴f(x)=-x3-2x2+4x+8.
(Ⅱ)f′(x)=-3x2-4x+4=-(3x-2)(x+2),
由f′(x)≥0得$-2≤x≤\frac{2}{3}$,由f′(x)≤0得$x≥\frac{2}{3}$或x≤-2,
∴单调增区间为$[{-2,\frac{2}{3}}]$,单减区间为(-∞,-2),$(\frac{2}{3},+∞)$,
f(x)极小值=f(-2)=0f(x)极大值=$f(\frac{2}{3})=9\frac{13}{27}$,
大致图象如右图.

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值,主要考查导数的几何意义,函数的单调性的判断,属于中档题.

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