题目内容
【题目】(题文)(题文)已知椭圆的离心率为
,过右焦点
且斜率为1的直线交椭圆
于A,B两点, N为弦AB的中点,O为坐标原点.
(1)求直线ON的斜率;
(2)求证:对于椭圆上的任意一点M,都存在
,使得
成立.
【答案】(1) .
(2)见解析.
【解析】分析:(1)设椭圆的焦距为,由
,可得
,从而椭圆
的方程可化为
,右焦点
,直线
所在的直线方程为
,与椭圆方程联立化为
,在利用中点公式与斜率公式即可求出;
(2)利用平面向量的基本定理,根与系数的关系,点与椭圆的位置关系,即可得到证明.
详解: (1)设椭圆的焦距为,因为
,所以有
,故有
.
从而椭圆的方程可化为:
知右焦点的坐标为(
),据题意有
所在的直线方程为:
. ②由①,②有:
.
③设,弦
的中点
,由③及韦达定理有:
所以,即为所求.
(2)显然与
可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量
,有且只有一对实数
,使得等式
成立.设
,由(1)中各点的坐标有:
,故
.
又因为点在椭圆
上,所以有
整理可得:
. ④
由③有:.所以
⑤又点
在椭圆
上,故有
.
⑥将⑤,⑥代入④可得:.
所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式
成立,且
.
所以存在,使得
.也就是:对于椭圆
上任意一点
,总存在
,使得等式
成立.
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