题目内容
【题目】如图,在矩形中,
,
,
是
的中点,以
为折痕将
向上折起,
变为
,且平面
平面
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据勾股定理推导出,取
的中点
,连结
,则
,从而
平面
,由此证得结论成立;(Ⅱ)以
为原点,
为
轴,
为
轴,过
作平面
的垂线为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角
的大小.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵,
,
∴,∴
,
取的中点
,连结
,则
,
∵ 平面平面
,/span>
∴平面
,∴
,
从而平面
,∴
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,
则、
、
、
,
,从而
=(4,0,0),
,
.
设为平面
的法向量,
则可以取
设为平面
的法向量,
则可以取
因此, ,有
,即平面
平面
,
故二面角的大小为
.
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