题目内容
【题目】定义:对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称
为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数,试判断
是否为定义域
上的“局部奇函数”?若是,求出所有满足
的
的值;若不是,请说明事由.
(2)若是定义在区间
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围.
(3)若为定义域
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围.
【答案】(1)为“局部奇函数”;(2)
;(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知中“局部奇函数”的定义,结合函数,可得结论;
(Ⅱ)若是定义在
上的“局部奇函数”,则
有解,即可求解实数
的取值范围;
(Ⅲ)若是定义域上的“局部奇函数”,则
有解,使用换元法和根据二次函数的性质,即可得到实数
的取值范围;
试题解析:
(1)当,方程
即
,
,所以
为“局部奇函数”.
(2)法一:当时,
可化为
,
∵有定义域为
,所以方程
在
有解,
令,则
,
∵在
上为减函数,在
上为增函数,
∴当时,
,即
,
∴.
法二:当时,
可化为
,
令,则关于
的二次方程
在
上有解即可,
保证为“局部奇函数”,设
.
①当方程在
上只有一解时,
须满足在或
,
解得或
舍去,
因为此时方程在区间有两解,不符合这种情况.
②当方程在
上有两个不相等实根时,
须满足,
解得,∴
.
(3)当为定义域
上的“局部奇函数”时,
,
可化为,
令,则
,
,
从而在
有解,即可保证
为“局部奇函数”
令,则
①时,
在
有解,
即,解得
.
②当,
在
有解等价于,
,解得
.
综上,,
∴的取值范围是
.
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练习册系列答案
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高校 | 相关人数 | 抽取人数 |
A | x | 1 |
B | 36 | y |
C | 54 | 3 |
(1)求x、y;
(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言,应采用什么抽样法,请写出合理的抽样过程.