题目内容
【题目】已知函数 .
(Ⅰ)若函数 有极值,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当 有两个极值点(记为
和
)时,求证:
.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得 ,且有
在方程 中,
①当 ,即
时,
恒成立
此时 在
上单调递增,∴函数
无极值;
②当 ,即
时,方程
有两个不相等的实数根:
,
且∵
,∴
∵当 或
时,
;当
时,
∴函数 在
上单调递减
在 和
上单调递增.
∴函数 存在极值
综上得:当函数 存在极值时,实数
的取值范围是
(Ⅱ)∵ ,
是
的两个极值点,故满足方程
即 ,
是
的两个解,∴
∵
而在 中,
欲证原不等式成立,只需证明
∵ ,只需证明
成立
即证 成立
令 ,则
当 时,
,函数
在
上单调递增;
当 时,
,函数
在
上单调递减;
因此 ,故
,即
成立得证
【解析】(1)对于含参数的函数求出导函数,得到含参导方程,讨论方程实根得到有极值时参数a的范围。
(2)证明与极值点有关的不等式,利用极值点是导方程的实根,将a消去从而将不等式转化为不含a的不等式,再通过求导用单调性结合最值证明所得不等式。
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示:
价格x | 5 | 5.5 | 6.5 | 7 |
销售量y | 12 | 10 | 6 | 4 |
通过分析,发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系.
(Ⅰ)求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程;
(Ⅱ)欲使销售量为13杯,则价格应定为多少?
注:在回归直线y= 中,
,
=
﹣
.
=146.5.
【题目】近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年618期间,某购物平台的销售业绩高达516亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(Ⅰ)先完成关于商品和服务评价的2×2列联表,再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列;
②求X的数学期望和方差.
附临界值表:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.897 | 10.828 |
K2的观测值:k= (其中n=a+b+c+d)
关于商品和服务评价的2×2列联表:
对服务好评 | 对服务不满意 | 合计 | |
对商品好评 | a=80 |
| |
对商品不满意 |
| d=10 |
|
合计 | n=200 |