题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
,
平面
.
(1)证明:;
(2)若,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)余弦值为.
【解析】分析: (1)先证明平面
,即证
.(2)先证明
,
,再建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角
的余弦值.
详解:(1)证明:∵平面
,∴
.
∵,
∴,∴
平面
,∴
.
(2)解:∵平面
,∴
,
∴四边形为菱形,∴
.
又,∴
与
均为正三角形.
取的中点
,连接
,则
.
由(1)知,则可建立如图所示的空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,
.
∴,
,
.
设平面的法向量为
,
则,
∴∴
取,则
为平面
的一个法向量.
又为平面
的一个法向量,
∴.
又二面角的平面角为钝角,所以其余弦值为
.
点睛:本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的平面角的计算,主要考查学生的空间想象能力和计算能力.属于中档题.
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练习册系列答案
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非游戏迷 | 游戏迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
附:(其中
为样本容量).
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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,
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车速/((km/h) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
刹车距离/m | 34 | 43 | 54 | 66 | 80 |