Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（1）设曲线C与直线l的交点为A、B，求弦AB的中点P的直角坐标；

（2）动点Q在曲线C上，在（1）的条件下，试求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先把曲线和直线化成普通方程，再联立根据韦达定理和中点公式可得的坐标；

（2）先求出OP的长度和直线OP的方程，根据曲线的参数方程设出的坐标，求出到直线OP的距离得最大值，再求出面积．

由消去参数，得，

由得，得，

联立消去并整理得，

设，，，，

则，，

，．

（2）|OP|==，

所以直线OP的方程为x+4y=0，

设Q（2cosα，sinα），

则点Q到直线x+4y=0的距离d=≤=，

=|OP|d≤××=．