题目内容
【题目】如图，设抛物线C1:
的准线1与x轴交于椭圆C2：
的右焦点F2，F1为C2的左焦点.椭圆的离心率为
，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动.
（1）当
取最小值时，求C1和C2的方程；
（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程.
【答案】（1）
,
；
（2）面积最大值为
，此时
.
【解析】
（1）由题意，
和
，得到
，
，根据
取最小值时
，即可求得抛物线和椭圆的方程；
（2）用
表示出椭圆的方程，联立方程组得出
点的坐标，计算出
的三边关于的式子，从而确定实数的值，求出
得距离和
到直线的距离，利用二次函数的性质，求得
面积取最大值，即可求解．
（1）由题意，抛物线
的准线方程为
，
椭圆
的右焦点
，所以，
又由，则，，所以取最小值时，
所以抛物线C1:，
又由
，
，所以椭圆C2的方程为．
（2）因为，，则，，
设椭圆的标准方程为
，
，
联立方程组
，得
，
所以
或
（舍去），代入抛物线方程得
，即
，于是
，
，
，
又的边长恰好是三个连续的自然数，所以
，
此时抛物线方程为
，
，
，
则直线PQ的方很为
，联立
，得
或
（舍去），于是
.所以
，
设
到直线的距离为
，则
，
当
时，
，
所以的面积最大值为
，
此时MP：
.
练习册系列答案
相关题目
