题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,
,求函数
在
处的切线方程;
(2)若,且
是函数
的一个极值点,确定
的单调区间;
(3)若,
且对任意
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)当
时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;当
时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;(3)
.
【解析】
(1)求得和
后,即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程;
(2)根据极值点的定义可确定,由此可得
,分别在
和
两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间;
(3)将恒成立的不等式化为,①当
时,由
恒成立可知
,满足题意;②当
时,由
时
可知
,满足题意;由零点存在定理可验证出
和
时存在
的区间,不满足题意;综合几种情况可得最终结果.
(1)当,
时,
,
则,
,
,
在
处的切线方程为
,即
.
(2)当时,
,
,
是
的一个极值点,
,
,
,
令,解得:
,
,
是一个极值点,
,即
,
①当,即
时,
若和
,
;若
,
,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;
②当,即
时,
若和
,
;若
,
,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;
综上所述:当时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;当
时,
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
.
(3)当,
时,
对任意
恒成立,
即对任意
恒成立.
令,
则,
,
,
①当时,对任意
,
恒成立,
在
上单调递减,
,满足题意;
②当时,
当时,
,
在
上单调递减,
,
⑴当时,
,
在
上单调递减,
,
i.当时,
,
在
上单调递减,
,满足题意;
ii.当时,由
,
,
,使得
,则
在
上单调递增,
当
时,
,不满足题意;
⑵当时,由
,当
时,
,
,使得
,
在
上恒成立,
在
上单调递增,
,
在
上单调递增,
,不满足题意;
综上所述:实数的取值范围为
.
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