题目内容

【题目】已知都是各项为正数的数列,且.对任意的正整数n,都有成等差数列,成等比数列.

(1)求数列的通项公式;

(2)若存在p>0,使得集合M=恰有一个元素,求实数的取值范围

【答案】(1)ann(n+1),bn(n+1)(2)见解析

【解析】

(1)利用等差中项和等比中项的性质,列方程组,解方程求得公差和公比,由此求得数列的通项公式.(2)构造数列时,利用数列的单调性求得的范围;当时,不符合题意;当时,利用的唯一最大值不小于,求得的取值范围.最后综上所述求得的取值范围.

:(1)根据题意,2bn2anan1 an1bnbn1

于是a2=3,b2,2bn12an1an2bnbn1bn1bn2

又因为bn>0,上式可化简为:2bn1bnbn2对任意nN*恒成立,

所以数列{bn}是以b1为首项,b2b1为公差的等差数列,

所以数列{bn}的通项公式bn (n+1),

把上式代入②,则an1

特别地,当a1=1也符合上式,故数列{an}的通项公式ann(n+1).

(2)令cn,则

p>3,数列{cn}单调递减,因为集合M中只有一个元素,所以c2λc1

λ

p=3, c1c2c3c4>…,M中不可能只有一个元素,所以不符合题意;

0<p≤1,数列{cn}单调递增,M中不可能只有一个元素,所以不符合题意;

1<p<3,令k=[]N,即k是小于等于的最大整数,则p-1≤

①若p+1时,则c1c2<…<ckck1ck2ck3>…,M中不可能只有一个元素,所 以不符合题意;

②若+1<p时,则c1c2<…<ckck1ck2ck3>…,

ck2ck所以ck+2λck1,即λ

③若p+1时,则c1c2<…<ckck1ck2ck3>…,

ck2ck所以ckλck1,即λ≤

综上,当p>3时,λ

1<p<3时,取k=[]N,

(i)若+1<p时,λ

(ii)若p+1时,λ

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