题目内容
【题目】已知函数,
的定义域分别为
,若存在常数
,满足:①对任意
,恒有
,且
.②对任意
,关于
的不等式组
恒有解,则称
为
的一个“
型函数”.
(1)设函数和
,求证:
为
的一个“
型函数”;
(2)设常数,函数
,
.若
为
的一个“
型函数”,求
的取值范围;
(3)设函数.问:是否存在常数
,使得函数
为
的一个“
型函数”?若存在,求
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)由,
恒成立,①成立,根据
解析式,
为不等式组
的一个解,得②成立,即可证明结论;
(2)为
的一个“
型函数”,满足①对任意
,求出
的范围,②对任意
,关于
的不等式组
恒有解,
转化为求函数的最值,可求出的范围,即可求解;
(3)由为
的一个“
型函数”,与(2)同理,将同时满足①②条件的参数
求出,即可求解.
(1)①,
当,
任意,且
,
②,
,
因为,
为不等式
的一个解,
所以为
的一个“
型函数”;
(2)①对任意,
,
;
②对任意,关于
的不等式组
恒有解,
,即
,
因为关于的不等式组恒有解,所以
,
恒成立,
;
综上,;
(3)①对任意对任意,
,
;
②对任意,关于
的不等式组
恒有解,
,
考虑,
令,
则,
由于在
时,单调递增,
或
(舍去),
由,记方程
的根为
,
若,则
,
即为不等式组的一个解,
若,取
且
,
,
综上,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校共有学生2000人,其中男生1100人,女生900人为了调查该校学生每周平均课外阅读时间,采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间(单位:小时)
(1)应抽查男生与女生各多少人?
(2)如图,根据收集100人的样本数据,得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图,其中样本数据分组区间为.若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时,请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”.
男生 | 女生 | 总计 | |
每周平均课外阅读时间不超过2小时 | |||
每周平均课外阅读时间超过2小时 | |||
总计 |
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
【题目】为了丰富学生的课外文化生活,某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式,取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关,学校对200名学生做了问卷调查,列联表如下:
参加文体活动 | 不参加文体活动 | 合计 | |
学习积极性高 | 80 | ||
学习积极性不高 | 60 | ||
合计 | 200 |
已知在全部200人中随机抽取1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关?请说明你的理由;
(3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人,再从所选出的5人中随机选取2人,求至少有1人学习积极性不高的概率.
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.