题目内容

设定义域为R的函数f（x）= $数学公式$ ，若关于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则们组题意的a的取值范围是

A.
（0，1）
B.
$数学公式$
C.
（1，2）
D.
$数学公式$

D
分析：题中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有5个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根；再结合2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，即可求出结论．
解答：

解：∵题中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5个不同实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根据2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0? $\text{[math]}$ ②
结合①②得：1＜a＜ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ a＜2．
故选：D．
点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．