题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，已知
， 
， 
于
.
（1）求证： 
；
（2）若平面
平面
，且
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）连接
，证明
，
∴
，∵
，∴
，由此可证
平面
，即可证明
.
（2）由
平面
，平面
平面
，
所以
， 
， 
两两垂直，以
为原点， 
， 
， 
分别为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系，如图所示.根据空间向量求面面角的方法即可求二面角
的余弦值.
（1）连接
，
∵
， 
， 
是公共边，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，
又
平面
， 
平面
， 
，
∴
平面
，
又
平面
，
∴
.
（2）
由
平面
，平面
平面
，
所以
， 
， 
两两垂直，以
为原点， 
， 
， 
分别为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为
， 
， 
，
所以
， 
， 
，
则
， 
， 
， 
， 
， 
.
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
又平面
的一个法向量为
，
设二面角
所成的平面角为
，
则
，
显然二面角
是锐角，故二面角
的余弦值为
.
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【题目】随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在［25,30),[55,60）的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（I）求年龄在［25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（II）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．
