题目内容
【题目】已知数列中,
.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,若对任意
,有
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】分析:第一问将,变形为
,利用等比数列的定义即可证明;第二问根据第一问的结论可以得出
,之后应用累加法求得
,一定不要忘记对首项的验证;第三问对相应的项进行裂项,之后求和,再利用数列的单调性,不等式的解法即可得出结果.
详解:(1)证明: ,
.
,
,
.
∴数列是首项、公比均为2的等比数列.
(2)是等比数列,首项为2,通项
,
故
,当
时,
符合上式,∴数列
的通项公式为
.
(3)解: ,
故,又因为{Sn}单调递增,所以Sn的最小值为S1=
,
成立,
由已知,有,解得
,所以
的取值范围为
.
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