Question

【题目】如图所示,已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.

(1)求DP与CC′所成角的大小.

(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）45°.（2）30°.

【解析】

（1）以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H. 设=(m,m,1)(m>0), 由<,>=60°,利用坐标运算可得m，进而可得cos<,>，从而得解；

（2）平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0),由cos<,>即可得解.

(1)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD′分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,

设DA=1.则=(1,0,0),=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.

设=(m,m,1)(m>0),

由已知<,>=60°,由·=||||cos<,>,可得2m=.解得m=,

所以=.

因为cos<,>==

所以<,>=45°,即DP与CC′所成的角为45°.

(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0),

因为cos<,>==

所以<,>=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.