Question

【题目】选修4-5：不等式选讲

已知函数，

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）[0，4]；（2）[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1].

【解析】试题分析：（1）求出当a=3时，f（x）的分段函数式，原不等式即化为一次不等式组，分别解得它们，再求并集即可；
（2）利用绝对值三角不等式可得f（x）=|x-a|+|x-1|≥|（x-a）+（1-x）|=|1-a|，依题意可得|1-a|≥2，解之即可．

试题解析：

（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，

即有f（x）=，

不等式f（x）≤4即为或或，

即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，

则为0≤x≤4，

则解集为[0，4]；

（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，

∴2≤f（x）min；

由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，

即f（x）min=|1﹣a|，

∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，

解得a≥3或a≤﹣1．

∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．