Question

【题目】已知直线l：2x+y﹣1=0与圆C：x2+y2=1相交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积（O为坐标原点）；
（2）设直线ax+by=1与圆C：x2+y2=1相交于M，N两点（其中a，b是实数），若OM⊥ON，试求点P（a，b）与点Q（0，1）距离的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线l：2x+y﹣1=0与圆C：x2+y2=1联立可得5x2﹣4x=0，∴x=0或x= ，

∴|AB|= = ．

圆心到直线的距离d= ，

∴△AOB的面积S=

（2）解：由OM⊥ON可知△MON是等腰直角三角形，且圆C的半径为1，所以圆心O到直线ax+by=1的距离为 ，即 ，化简得a2+b2=2..

所以点P在以 为半径，原点为圆心的圆上运动，故

【解析】（1）直线l：2x+y﹣1=0与圆C：x2+y2=1联立求出x，可得|AB|，求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的面积；（2）根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论．