Question

【题目】(本小题满分14分)

如图，在正三棱柱中，点分别是的中点．

求证： ∥平面

若求证：A1B⊥平面B1CE.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】试题分析：证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用中位线定理可得线线平行，继而得证；证明线面垂直，只需寻求线线垂直，找出这条直线垂直平面内的两条相交直线垂直，即可得证.

试题解析

证明：(1) 连结AC1，BC1，

因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，

所以D是AC1的中点．在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，

所以DE∥BC1.

因为DE 平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，

所以ED∥平面BB1C1C.

(2) 因为△ABC是正三角形，E是AB的中点，

所以CE⊥AB.

因为正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，所以CE⊥平面ABB1A1.

从而CE⊥A1B.

在矩形ABB1A1中，因为，

所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，从而∠B1A1B＝∠BB1E.

因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，

所以A1B⊥B1E.

因为CE，B1E平面B1CE，CE∩B1E＝E，

所以A1B⊥平面B1CE.