Question

2．记（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{x}{{2}^{n}}$）（n∈N^*，n≥2）展开式中，x的系数为a_n，x²的系数为b_n，则$\frac{{b}_{2014}-{b}_{2015}}{{a}_{2014}}$=$\frac{3{×2}^{4037}}{{2}^{2014}-1}$．

Answer 1

分析 由条件求得x的系数为a_n以及x²的系数为b_n 的值，可得$\frac{{b}_{2014}-{b}_{2015}}{{a}_{2014}}$的值．

解答 解：（1+$\frac{x}{2}$）（1+$\frac{x}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{x}{{2}^{n}}$）（n∈N^*，n≥2）展开式中，
x的系数为a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
x²的系数为b_n =$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+（n-1）}}$=$\frac{\frac{1}{8}（1{-2}^{2n-3}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}$-2^2n-5，
∴$\frac{{b}_{2014}-{b}_{2015}}{{a}_{2014}}$=$\frac{（\frac{1}{4}{-2}^{2023}）-（\frac{1}{4}{-2}^{2025}）}{1{-（\frac{1}{2}）}^{2014}}$=$\frac{{2}^{2025}{-2}^{2023}}{1-\frac{1}{{2}^{2014}}}$=$\frac{3{×2}^{4037}}{{2}^{2014}-1}$，
故答案为：$\frac{3{×2}^{4037}}{{2}^{2014}-1}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，等比数列的前n项和公式，属于中档题．