题目内容
20.△ABC的顶点A在y2=4x上,B,C两点在直线x-2y+5=0上,若|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{5}$,则△ABC面积的最小值为1.分析 由题意设A($\frac{{m}^{2}}{4}$,m),运用点到直线的距离公式求得d,通过配方求得d的最小值,再由三角形的面积公式可得面积的最小值为1.
解答 解:由题意设A($\frac{{m}^{2}}{4}$,m),
|BC|=2$\sqrt{5}$,
A到直线BC的距离d=$\frac{|\frac{{m}^{2}}{4}-2m+5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{m}^{2}-8m+20|}{4\sqrt{5}}$
=$\frac{|(m-4)^{2}+4|}{4\sqrt{5}}$≥$\frac{1}{\sqrt{5}}$,
当m=4时,d取得最小值,且为1.
则△ABC面积S=$\frac{1}{2}$d•|BC|=$\sqrt{5}$d≥1.
且当A(4,4)时,面积取得最小值,且为1.
故答案为:1.
点评 本题考查抛物线的方程和运用,主要考查点到直线的距离公式的运用,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+k(A>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的最大值为3,最小值为1,最小正周期为π,直线x=$\frac{π}{3}$是其图象的一条对称轴,将函数f(x)的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式可以为( )
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