Question

已知关于x的二次函数f（x）=x²+（2t-1）x+1-2t，
（1）求证：对于任意t∈R，方程f（x）=1必有实数根；
（2）若

1

2

＜t＜

3

4

，求证：方程f（x）=0在区间(-1，  0)及(0，  

1

2

)上各有一个实数根．

Answer 1

分析：（1）求证：对于任意t∈R，方程f（x）=1必有实数根；只需找出一个实根即可，也可以用判别式来解．
（2）计算x=-1、0、

1

2

时的函数值即可证明要求证的问题．

解答：解：（1）由f（1）=1知f（x）=1必有实数根，
或由△=（2t-1）²+8t=（2t+1）²≥0得f（x）=1必有实数根；
（2）当

1

2

＜t＜

3

4

时，
因为f(-1)=3-4t=4(

3

4

-t)＞0，
f(0)=1-2t=2(

1

2

-t)＜0，
f(

1

2

)=

1

4

+

1

2

(2t-1)+1-2t=

3

4

-t＞0，
所以方程f（x）=0在区间(-1，0)及(0，

1

2

)上各有一个实数根．

点评：本题考查根的存在性及根的个数问题，是基础题．