Question

【题目】已知函数f（x）=ex-a+lnx。

（1）若a=1，求证：当x＞1时，f（x）＞2x-1

（2）若存在x0≥e，使f（x）＜2lnx0，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意对函数求导，然后构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论；

(2)结合题意构造函数，结合其导函数的性质可得实数a的取值范围是.

试题解析：

（1）a=1时，f（x）=ex-1+lnx， =ex-1+

设g（x）=ex-1+lnx-2x+1， =ex-1+-2

=ex-1-，x＞1，ex-1＞1,0＞＜1. =ex-1-＞0

在（1，+∞）递增，又g’（1）=0，∴x＞1时，

g（x）在（1，+∞）递增，x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即ex+lnx-2x+1＞0

x＞1时，ex+lnx＞2x-1，即f（x）＞2x-1

(2)若存在x0≥e，使f（x0）＜2lnx0，即ex0-a＜lnx0

即存在x0＞e，使ea＞

设h（x）=（x≥e），则h’（x）=

u=lnx-，u’=在[e，+∞）递增。

x=e时，u=1-＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立，

h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）递增

x≥e，时h（x）min=h（e）=ee

需ea＞eea＞e