题目内容
4.在△ABC中,若sin2A+sin2B=5sin2C,当∠C取得最大值时,则sin2C=( )A. | $\frac{24}{25}$ | B. | $\frac{12}{25}$ | C. | $\frac{7}{16}$ | D. | $\frac{11}{16}$ |
分析 已知等式利用正弦定理化简,表示出c2,利用余弦定理表示出cosC,将表示出的c2代入,并利用基本不等式求出cosC的度数,进而确定出∠C的范围,得出∠C的最大值.
解答 解:∵△ABC中,sin2A+sin2B=5sin2C,
∴由正弦定理化简得:a2+b2=5c2,即c2=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{5}$,
∴由余弦定理得:cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2({a}^{2}+{b}^{2})}{5ab}$≥$\frac{4ab}{5ab}$=$\frac{4}{5}$,当且仅当a=b时取等号,
∵∠C为三角形内角,
∴当∠C取得最大值时,cos∠C=$\frac{4}{5}$,解得:sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{5}$,
则sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$.
故选:A.
点评 此题考查了正弦、余弦定理,以及余弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理是解本题的关键,属于基本知识的考查.
练习册系列答案
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