Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3x+1
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，

当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，

∴函数f（x）在（﹣1，1）上递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上递增，

当x=﹣1时取到极大值是f（﹣1）=3，当x=1取到极小值f（1）=﹣1．

（2）解：由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，

∵f（0）=1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=﹣3x

即3x+y﹣1=0．

【解析】（1）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；（2）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．