Question

15．已知圆C₁：x²+2cx+y²=0，圆C₂：x²-2cx+y²=0，c是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的半焦距，若圆C₁，C₂都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 首先把圆的方程转化成标准形式，进一步利用椭圆与圆的关系，求出圆心到椭圆的右顶点的距离与圆的半径的关系式，最后利用e的范围求出结果．

解答 解：已知圆C₁：x²+2cx+y²=0，
转化成标准形式为：（x+c）²+y²=c²，
圆C₂：x²-2cx+y²=0，
转化成标准形式为：（x-c）²+y²=c²，
圆C₁，C₂都在椭圆内，
所以：（c，0）到（a，0）的距离大于c
则：|c-a|＞c
解得：a＞2c
由于：e=$\frac{c}{a}$
所以：e$＜\frac{1}{2}$，
由于椭圆的离心率e∈（0，1）
则：0＜e＜$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查的知识要点：利用圆与椭圆的关系建立a、b、c的关系式，进一步利用椭圆离心率的范围求出结果．