题目内容

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是①④⑤（写出所有正确命题的编号）
①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC的最小值为3$\sqrt{3}$
③tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数
④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当$\sqrt{3}$tanB-1=$\frac{tanB+tanC}{tanA}$时，则sin2C≥sinA•sinB．

分析 利用和角的正切公式，结合三角形的内角和，可判断①；举出反例：A=$\frac{2π}{3}$，B=C=$\frac{π}{6}$，可判断②；根据正切互为倒数的两个三角形内角互余，可判断③；由①中结论，可得tanA=1，进而判断④；由①中结论，可得C=60°，进而利用和差角公式及正弦型函数的性质，可判断⑤．

解答 解：由题意知：A≠$\frac{π}{2}$，B≠$\frac{π}{2}$，C≠$\frac{π}{2}$，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，
又∵tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=$\frac{2π}{3}$，B=C=$\frac{π}{6}$时，tanA+tanB+tanC=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$＜3$\sqrt{3}$，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当$\sqrt{3}$tanB-1=$\frac{tanB+tanC}{tanA}$时，$\sqrt{3}$tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=$\sqrt{3}$，C=60°，
此时sin2C=$\frac{3}{4}$，
sinA•sinB=sinA•sin（120°-A）=sinA•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA+$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$cos2A=$\frac{1}{2}$sin（2A-30°）$+\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．

练习册系列答案
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③若bcosC+ccosB=b，则△ABC是等腰三角形
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