Question

20．如图所示，点N在圆O：x²+y²=8上，点D是N在x轴上投影，M为DN上一点，且满足$\overrightarrow{DN}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{DM}$．
（Ⅰ）当点N在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过F（2，0）不与坐标轴垂直的直线交曲线C于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点E，试判断$\frac{|EF|}{|PQ|}$是否为定值？若是定值，求此定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别设出M，N的坐标，根据题意表示出N的坐标，代入圆的方程即可求得C的轨迹方程．
（Ⅱ）设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而利用弦长公式表示出|PQ|，利用弦PQ的中点，表示出其垂直平分线的方程，把y=0带入求得横坐标的表达式，进而表示出|FE|，相除即可．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y）、N（x₀，y₀），由于$\overrightarrow{DN}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{DM}$和ND⊥x轴，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}}\\{{y}_{0}=\sqrt{2}y}\end{array}\right.$
  代入圆方程得：x²+2y²=8，即$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
所以，曲线C的轨迹方程为即$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）$\frac{|EF|}{|PQ|}$是定值，值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．理由如下：
由题设直线x=my+2（m≠0）交曲线C：x²+2y²=8于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）联立得$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-8=0}\end{array}\right.$得（m²+2）y²+4my-4=0，则y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-4}{{m}^{2}+2}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-4m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{16}{{m}^{2}+2}}$=$\frac{4\sqrt{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，
弦PQ的中点为（$\frac{4}{{m}^{2}+2}$，$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$），
∴直线x=my+2的垂直平分线方程为y-$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$=-m（x-$\frac{4}{{m}^{2}+2}$），
令y=0，得x=$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，所以|FE|=2-$\frac{2}{{m}^{2}+2}$=$\frac{2（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，
∴$\frac{|EF|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用问题．直线与圆的方程问题的解决常借助于韦达定理，利用设而不求的方法解决．