题目内容
设An为数列{an}的前n项和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;
(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项,Br为数列{bn}的前r项的和;Dn为数列{dn}的前n项和,Tn=Br-Dn,求
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;
(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项,Br为数列{bn}的前r项的和;Dn为数列{dn}的前n项和,Tn=Br-Dn,求
(1) an=3n (2)证明略(3)
(1)由An=(an-1),可知An+1=(an+1-1),
∴an+1-an= (an+1-an),即=3,而a1=A1= (a1-1),得a1=3,所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列,数列{an}的通项公式an=3n.
(2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n
=3·[42n+C·42n-1(-1)+…+C·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3,
∴32n+1∈{bn}.
而数32n=(4-1)2n
=42n+C·42n-1·(-1)+…+C·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1),
∴32n{bn},而数列{an}={a2n+1}∪{a2n},∴dn=32n+1.
(3)由32n+1=4·r+3,可知r=,
∴Br=,
∴an+1-an= (an+1-an),即=3,而a1=A1= (a1-1),得a1=3,所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列,数列{an}的通项公式an=3n.
(2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n
=3·[42n+C·42n-1(-1)+…+C·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3,
∴32n+1∈{bn}.
而数32n=(4-1)2n
=42n+C·42n-1·(-1)+…+C·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1),
∴32n{bn},而数列{an}={a2n+1}∪{a2n},∴dn=32n+1.
(3)由32n+1=4·r+3,可知r=,
∴Br=,
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