题目内容
15.设函数f(x)的定义域为R,对任意x1,x2∈R,恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立.(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若x>0时,f(x)<0,证明:f(x)是R上的减函数.
分析 (1)利用赋值法结合函数奇偶性的定义,结合抽象函数,证明f(x)为奇函数;
(2)根据函数单调性的定义结合抽象函数的关系进行证明即可.
解答 解:(1)令x1=x2=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
(2)令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(2)设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),
∵x1>x2,
∴x1-x2>0,
则f(x1-x2)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),即函数为减函数.
点评 本题主要考查抽象函数的应用,利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键.
练习册系列答案
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4.下列函数中,与函数y=x-1相等的是( )
A. | y=$\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$ | B. | y=$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$ | C. | y=t-1 | D. | y=-$\sqrt{(x-1)^{2}}$ |